Einsteinov prvi dokaz

Krajem novembra 1949. godine časopis Subotnja književna revija (Saturday Review of Literature)
objavio je esej Alberta Einsteina u kome on opisuje dva važna trenutka
iz svog detinjstva. Prvi je povezan sa kompasom koji mu je otac pokazao
kada mu je bilo 4-5 godina. Einstein se priseća svog čuđenja što igla
uvek pokazuje sever, iako je naizgled ništa ne vuče u tom pravcu. Tada
je doneo neke zaključke o strukturi fizičkog sveta: “Iza pojavnosti
stvari postoji nešto duboko skriveno”. Drugi trenutak je povezan sa
poklonom za 12. rođendan, knjižicom o Euklidovoj geometriji. Einstein
kaže da je ideja da se matematički iskaz može “dokazati sa potpunom
izvesnošću” kod njega izazvala čuđenje “sasvim druge vrste”. Shvatio je
da čista misao ima jednaku moć kao magnetizam naše planete.

Ovih dana proslavljamo stotu godišnjicu Einsteinove opšte teorije
relativnosti, jedne od mnogih njegovih ideja koje su osvetlile “nešto
duboko skriveno” iza pojavnosti stvari. U tu čast hajde da pokušamo da
shvatimo nešto od onoga što je on uradio. Nećemo dirati opštu teoriju
relativnosti, jer je previše složena.
Kada su Arthura Eddingtona – britanskog astrofizičara i vođu tima koji
je potvrdio Einsteinova predviđanja u vezi sa pomračenjem Sunca 1919 –
upitali da li je istina da su samo tri naučnika na svetu razumela ovu
teoriju, on je zaćutao. “Ne budite tako skromni, Eddingtone”, rekao je
njegov sagovornik. “Naprotiv”, odgovorio je on. “ne mogu da se setim
trećeg”.

Predlažem da se pozabavimo jednim ranijim, prostijim primerom
Einsteinovog zaključivanja. I pre nego što je dobio knjižicu o Euklidu, o
geometriji mu je govorio njegov ujak Jakob, inženjer. Einsteina je
posebno očarala Pitagorina teorema i “uz mnogo truda”, kako sam kaže za
Subotnju reviju, izveo je sopstveni matematički dokaz teoreme. Proći
ćemo kroz taj dokaz korak po korak. U pitanju je prvo i svakako
najpristupačnije Einsteinovo remek-delo. Ovaj mali biser zaključivanja
najavljuje naučno razmišljanje, stil i temperament zrelog Einsteina.
Njegov osećaj za simetriju, sažetost, istrajnost i sklonost da misli u
slikama koje znamo iz opšte teorije relativnosti – već su tu.

***

Možda ste zapamtili Pitagorinu teoremu kao niz simbola: a²+b²=c².
Ona se odnosi na pravougle trouglove, to jest na trouglove koji imaju
jedan prav ugao (90 stepeni). Teorema kaže da je zbir površina kvadrata
nad katetama jednak površini kvadrata nad hipotenuzom.

Iz godine u godinu milionima tinejdžera u školama širom sveta
utuvljuje se ovo pravilo, ali većina o njemu ne razmišlja. Možda niste
ni vi. Ali ako pokušate, naviru pitanja. Zašto je to istinito i kako je
neko došao do tog zaključka?

Da biste naslutili odgovor, pogledajte etimologiju reči geometrija. Ona je izvedena iz grčkog korena gē (koji znači “Zemlja” ili “zemljište”) i metria (“merenje”).
Lako je shvatiti zašto su se stari narodi i njihovi vladari zanimali za
merenje njiva ili parcela zemlje. Vlasti moraju da procene koliki porez
će ubrati, koliko vode će biti potrebno za navodnjavanje, koliko žita,
ječma i papirusa ratari mogu da proizvedu.

Zamislite pravougaono polje, 30 sa 40 metara.

Koliko je to zemlje? Važno je znati površinu njive. Površina ovog
komada zemlje biće 30 puta 40, što znači 1.200 kvadratnih metara.
Porezniku je važan samo taj broj. Njega ne zanima oblik vašeg komada
zemlje već samo koliko zemlje imate.

Nadzornike, naprotiv, zanimaju oblici, uglovi i rastojanja. U starom
Egiptu godišnje izlivanje Nila ponekad je brisalo granice između
parcela, pa je poznavanje tačnih mera bilo neophodno da bi se one ponovo
iscrtale. Pre 4.000 godina neki nadzornik možda se zagledao u njivu
čije su mere 30 sa 40 i zamislio se: koliko iznosi rastojanje od jednog
ugla do dijagonalno naspramnog ugla?

Odgovor na to pitanje manje je očigledan od onog ranijeg o površini,
ali sve stare kulture širom sveta – u Vavilonu, Kini, Egiptu, Grčkoj i
Indiji – otkrile su rešenje. Pravilo do kog su došle danas se zove
Pitagorina teorema, u čast Pitagore sa Samosa, grčkog matematičara,
filozofa i vođe kulta koji je živeo oko 550. godine pre nove ere.
Potrebno je da zamislimo tri kvadratne parcele – jednu nad kraćom
stranicom pravougaonika, drugu nad dužom i treću nad njegovom
dijagonalom.

Sada treba da izračunamo površine kvadrata nad katetama i da ih
saberemo. Po Pitagorinoj teoremi, rezultat, 900 + 1.600 = 2.500 mora
biti jednak površini kvadrata nad dijagonalom. To nam omogućava da
izračunamo nepoznatu veličinu koju tražimo: 50 metara, jer 50 x 50 je
jednako 2.500.

Pitagorina teorema je istinita za sve pravougaonike bez obzira na
njihove dimenzije: izdužene, jednakostranične i one između. Zbir
kvadrata nad dvema stranicama uvek je jednak kvadratu nad dijagonalom.
(Preciznije, sabiraju se površine kvadrata a ne sami kvadrati. Ali ovako
je prostije, pa ću nastaviti da govorim “kvadrati” kada mislim na
njihove površine.) Isto pravilo važi i za pravougle trouglove, oblik
koji dobijemo kad kvadrat presečemo po dijagonali.

Pravilo sada više liči na ono koje ste učili u školi: a² + b² = c², ili rečima: zbir kvadrata nad katetama pravouglog trougla jednak je kvadratu nad njegovom hipotenzom.

Ali zašto je ova teorema istinita? Na kojoj logici se zasniva? Danas
je poznato više stotina dokaza. Jedan se pripisuje Pitagori i kineskim
misliocima koji su do njega došli nezavisno jedni od drugih. Jedan
komplikovan dokaz nalazimo u Euklidovim Elementima, s kojim su
se đaci rvali prethodnih 2.300 godina i koji je u filozofu Arthuru
Schopenhaueru pobudio “transfer neprijatnosti kao posle mađioničarskog
trika”. Postoji i dokaz američkog predsednika Jamesa A. Garfielda, koji
za tu svrhu domišljato koristi trapezoid.

Einstein nije ostavio pisani trag o svom dečačkom dokazu. U eseju za
Subotnju reviju ga je opisao u kratkim crtama i pomenuo da je pošao od
“sličnosti trouglova”. Njegovi biografi se slažu da je on možda sam za
sebe otkrio standardni udžbenički dokaz u kome slični trouglovi (oni
koji izgledaju kao fotografsko smanjenje ili uvećanje istog trougla)
zaista igraju glavnu ulogu. Walter Isaacson, Jeremy Bernstein i Banesh
Hoffman došli su do tog pomalo razočaravajućeg zaključka i svako od njih
opisao je verovatne Einsteinove korake dok je ni ne znajući otkrivao
toplu vodu.

Ali pre 24 godine pojavila se druga verzija izgubljenog dokaza. U svojoj knjizi Fraktali, haos, zakoni potenciranja (Fractals, Chaos, Power Laws)
fizičar Manfred Schroeder izložio je čudesno jednostavan dokaz
Pitagorine teoreme koji je pripisao Einsteinu. Schroeder kaže da mu je
dokaz pokazao njegov prijatelj, hemijski fizičar Shneior Lifson sa
instituta Weizmann, u Rehovotu, u Israelu, a da ga je ovaj čuo od
fizičara Ernsta Strausa, Einsteinovog bivšeg asistenta, koji ga je čuo
od Einsteina. Iako ne možemo biti sigurni da je dokaz koji sledi
Einsteinov, svako ko poznaje njegovo delo, prepoznaće njegov rukopis.

***

Biće nam lakše ako najpre brzo protrčimo kroz dokaz kako bismo sagledali njegovu celokupnu strukturu.

Korak 1: Povucite normalnu liniju od hipotenuze do pravog ugla. Tako
ćete podeliti prvobitni pravougli trougao na dva manja pravougla
trougla.

Korak 2: Uočite da je zbir površina malog i srednjeg trougla jednak površini velikog trougla.

Korak 3: Veliki, srednji i mali trougao su slični u tehničkom smislu:
njihovi odgovarajući uglovi su jednaki i njihove odgovarajuće stranice
su proporcionalne. Njihova sličnost postaje očigledna ako ih u mislima
zarotirate tako da im hipotenuza bude gore, a prav ugao dole levo:

Korak 4: Pošto su trouglovi slični, svaki zauzima isti fraktal f
površine kvadrata nad njegovom hipotenuzom. Simbolički izraženo,
trouglovi imaju površine fa², fb² i fc², kao što je naznačeno na dijagramu.

(Ne brinite ako vam ovaj korak nije sasvim jasan. Kasnije ću se vratiti na njega i nadam se da će vam biti razumljiviji.)

Korak 5: Zapamtite iz Koraka 2 da je zbir malog i srednjeg trougla veliki trougao. Onda iz Koraka 4 sledi: fa² + fb² = fc².

Korak 6: Podelite obe strane gornje jednakosti sa f. Dobićete a² + b² = c², što znači da je zbir površina kvadrata nad katetama jednak površini kvadrata nad hipotenuzom. To je Pitagorina teorema.

Dokaz počiva na dve stvari. Prva je to što pravougli trougao može da
se razloži na dve manje kopije samog sebe (Koraci 1 i 3). To je
osobenost pravouglih trouglova. Ako pokušate, na primer, da podelite
nepravougli jednakostranični trougao na dva manja jednakostranična
trougla, videćete da je to nemoguće. Tako Einsteinov dokaz otkriva zašto
Pitagorina teorema važi samo za pravougle truglove: samo oni su
sačinjeni od malih kopija samih sebe. Druga stvar je zbir. Zašto je
jedan kvadrat zbir druga dva (Korak 6)? Zato što je jedan trougao zbir
druga dva (Korak 2), a trouglovi su srazmerni kvadratima (Korak 4).

Logička veza između kvadrata i trouglova uspostavlja se preko
zbunjujućeg Koraka 4. Evo kako ćemo to savladati. Pokušajte s najlakšom
vrstom pravouglog trougla, jednakostraničnim, poznatim i kao trougao
45-45-90, koji nastaje presecanjem kvadrata nadvoje duž njegove
dijagonale.

Kao i ranije, konstruišite kvadrat nad njegovom hipotenuzom.

Ako isprekidanim linijama označimo dijagonale novonastalog kvadrata, slika će ličiti na uputstvo za pravljenje koverte.

Kao što vidite, četiri kopije trougla precizno se uklapaju u kvadrat.
Ili, drugim rečima, trougao zauzima tačno četvrtinu kvadrata. To znači
da je f=1/4, ako koristimo gornju notaciju.

Sada dolazi ključna stvar. Nismo rekli koliki su kvadrat i
jednakostranični pravougli trougao. Odnos njihovih površina uvek je
jedan prema četiri, za svaki takav koverat. To je svojstvo njegovog
oblika, a ne njegove veličine.

To je poenta Koraka 4. Prilično očigledno, zar ne?

To isto važi za svaki pravougli trougao, a ne samo za
jednakostranični. Trougao uvek zauzima jedan fraktal f kvadrata nad
svojom hipotenuzom i taj fraktal ostaje srazmerno isti bez obzira na
veličinu trougla i kvadrata. Naravno, numerička vrednost zavisi od
proporcija trougla; ako je trougao dugačak i tanak, kvadrat nad njegovom
hipotenuzom imaće mnogo veću površinu od njegove četvorostruke
površine, to jest njegova površina će biti mnogo manja od 1/4. Ali
numerička vrednost nije važna. Einsteinov dokaz pokazuje da u svakom
slučaju f na kraju nestaje. On ulazi na pozornicu s desne strane (Korak
4) i brzo izlazi na levu (Korak 6).

Ovde vidimo suštinsku ulogu argumenta simetrije. U nauci i matematici
kažemo da je nešto simetrično ako neki njegovi aspekti ostaju isti
uprkos promeni. Lopta, na primer, ima rotacionu simetriju; rotiraj je
oko njenog srediišta koliko hoćeš, njen izgled se neće menjati.
Roršahova mrlja ima refleksionu simetriju: njena slika u ogledalu
odgovara originalu. U Koraku 4 ovog dokaza, Einstein je koristio
simetriju poznatu kao simetriju skaliranja. Uzmite pravougli trougao s
kvadratom nad hipotenuzom i povećajte ili smanjite njihovu veličinu u
istoj meri – kao na fotokopirnom aparatu. Ta promena će promeniti neke
njihove crte (njihove površine i dužine stranica) a neke će ostati
nepromenjene (uglovi, proporcije i odnos površina). Nepromenljivost
odnosa površina je u osnovi Koraka 4.

***

Tokom celog svog života Einstein će koristiti i razvijati argument
simetrije kao skalpela za dospevanje do skrivene suštine stvari. Njegov
revolucionarni rad iz 1905, u kom izlaže posebnu teoriju relativnosti,
počinje isticanjem jedne simetrije u postojećoj teoriji o elektricitetu i
magnetizmu: “Poznato je da Maxwellova elektrodinamika – onako kako se
danas obično shvata – kada se primeni na tela u kretanju, vodi do
asimetrija koje ne izgledaju inherentne toj pojavi”. Einstein je
naslutio da te asimetrije moraju biti znak da je nešto trulo u samom
središtu tadašnje formulacije fizike. Sve drugo – prostor, vreme,
materija, energija – bilo je dostupno njegovom umu kao na tanjiru.
Pomislite kakva je hrabrost bila potrebna da bi se iz temelja
preformulisala gotovo cela fizika, što je podrazumevalo revidiranje
Newtona i Maxwella.

I posebna i opšta teorija relativnosti takođe su duboko geometrijske
teorije. One zamišljaju svet koji ima još jednu dimenziju pored
opštepoznate tri; ta četvrta dimenzija je vreme. Umesto da razmatra
rastojanje između dve tačke (prostornu meru) posebna teorija
relativnosti vidi Pitagorinu teoremu kao interval između dva događaja
(meru prostor-vremena). U opštoj teoriji relativnosti gde samo vreme
postaje zakrivljeno materijom i energijom u njoj, Pitagorina teorema i
dalje ima svoju ulogu; ona se preoblikuje u kvantitet koji se naziva
metrički i koji meri – prostorno-vremensku razdvojenost između
infinitezimalno bliskih događaja, čija se zakrivljenost može privremeno
zanemariti. U izvesnom smislu Einstein je tokom celog života bio očaran
Pitagorinom teoremom.

Stil ovde izloženog dokaza Pitagorije teoreme, elegantan i naizgled
lak, najavljuje neke osobine Einsteina kao zrelog naučnika. U Koraku 1
on povlači jednu jedinu liniju i Pitagorina teorema pada kao zreli
avokado. Taj minimalistički duh karakterističan je za ceo Einsteinov
naučni rad. Zvuči neverovatno, ali u jednom delu svog rada o posebnoj
relativnosti on je revolucionisao naše pojmove prostora i vremena samo
uz pomoć srednjoškolske algebre i matematike.

Na kraju, iako dokaz Pitagorine teoreme koji je izveo mladi Einstein
izgleda lak, on to izvesno nije bio. Setimo se da u eseju za Subotnju
reviju Einstein kaže da je taj dokaz iziskivao “mnogo truda”. Kasnije u
životu dobro će mu poslužiti ta upornost – koju je on nazivao
tvrdoglavost. Bile su mu potrebne godine da formuliše opštu teoriju
relativnosti i često ga je obeshrabrivala apstraktna matematiika koju je
ta teorija zahtevala. Iako je bio sjajan matematičar, nije bio među
najboljima na svetu. (“Svaki klinac na ulicama Getingena bolje od
Einsteina razume četvorodimenzionalnu geometriju”, primetio je
matematičar David Hilbert, Einsteinov savremenik.)

Mnogo godina posle svog dečijeg dokaza Pitagorine teoreme, Einstein
se dopisivao sa jednom devojčicom od 12 godina koja je muku mučila sa
matematiom. Trećeg januara 1943. mlađa srednjoškolka Barbara Lee Wilson
pismom ga je zamolila za savet. “Većina devojčica u mom razredu ima
svoje omiljene junake kojima piše pisma” počela je. “Moji junaci ste vi i
moj ujak koji radi u obalskoj straži”. Barbara je rekla Einsteinu da
strepi za svoj uspeh iz matematike: “Moram da radim duže nego većina
mojih drugara. Brinem (možda suviše)”. Četiri dana kasnije Einstein joj
je poslao odgovor: “Nikad nisam sanjao da ću biti nečiji junak”, napisao
je. “Ali pošto ste me vi nominovali, sada se tako osećam”. A školske
brige Barbare Wilson? “Ne brinite zbog teškoća sa matematikom”, napisao
je. “Uveravam vas da su moje i dan-danas veće od vaših.”

Steven Strogatz, The New Yorker, 19.11.2015.

Prevela Slavica Miletić

Peščanik