Subašić je rođen u Zadru. Majka Danijela Subašića Boja je iz Raštevića, a otac Jovo iz Zadra. Upravo zbog imena oca, umirovljenog pekara pravoslavne vjeroispovijesti, srpski mediji navode da je Subašić Srbin, iako je on nekoliko puta poručio da je Hrvat i da sve što radi u reprezentaciji radi za hrvatski narod. Zbog povezivanja sa srpstvom je prije desetak godina čak imao i problema s ocem svoje supruge.
“Zaklat ću te ako se udaš za Srbina! Iza golmanskog heroja Hrvatske je potresan sukob s puncem zbog kojeg sad poriče korijene”, naslov je Telegrafa.
- TEKST NASTAVLJA ISPOD OGLASA -
Tabloid Kurir piše da danas i punac slavi Subašića, a Alo donosi naslov: “Ništa bez nas! Komšije u šoku, Srbin odveo Hrvatsku u četvrtfinale!”